7.- Relaciones de equivalencia: 

Las relaciones de equivalencia, un tipo de relación binaria que solo hicimos mencion en la sección de relaciones binarias y tiene la propiedad de clasificar los elementos de un conjunto dado junto con algunas propiedades que necesitaremos más adelante.

-Relacion reflexiva:

Definición: Una relación binariaR⊆A

Ejemplo: Tenemos el siguiente conjunto A={1,2,3,4}$\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}$, la siguiente relación es reflexiva:

R={(1,1),(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4)}$$\mathrm{R}=\{(1,1),(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4)\}$$

Ya que contiene a todos los pares ordenados (1,1)$(1,1)$, (2,2)$(2,2)$, (3,3)$(3,3)$ y (4,4)$(4,4)$ donde sus primeras o segundas componentes pertenecen al conjunto A$\mathrm{A}$. Pero la relación:

R={(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(1,2)}$$\mathrm{R}=\{(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(1,2)\}$$

$$

No es reflexiva porque falta por lo menos un par ordenado (1,1)$(1,1)$ tal que 1∈A$1<span\; class="mjxassistivemathml"><span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; color:\; black;\; padding:\; 0cm;">\in <mrow\; class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi\; mathvariant="normal"></mi></mrow></span></span><span\; class="mjxassistivemathml"><span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; color:\; black;\; padding:\; 0cm;">A</span></span><span\; style="color:\; black;">.<o:p></o:p></span>$

-Relacion Simétrica:

Definición: Una relación definida sobre un conjunto es simétrica si un par ordenado (x,y)(x,y) que pertenece a una relación, el par ordenado (y,x)(y,x) también pertenece a dicha relación.

Ejemplo: Sea el conjunto B={1,2,3,4,5,6}B={1,2,3,4,5,6}, las siguientes relaciones son simétricas:

o    R1={(1,2),(1,1),(2,1),(4,1),(1,4)}R1={(1,2),(1,1),(2,1),(4,1),(1,4)}

o    R2={(3,4),(4,3),(2,2)}R2={(3,4),(4,3),(2,2)}

o    R3={(5,5)}R3={(5,5)}

Todas estas relaciones son simétricas porque cada una de ellas cumple la condición (x,y)∈R→(y,x)∈R(x,y)∈R→(y,x)∈R, por ejemplo, para R1R1, si existe en su colección el par (1,2)(1,2), entonces debe incluirse de la misma manera el par (2,1)(2,1), si se incluye el par P(5)=51P(5)=51, también debe incluirse (1,4)(1,4) y el par (1,1)(1,1) es un elemento simétrico consigo mismo, por tanto, R1R1 es una relación simétrica, igualmente para R2R2 y R3R3 que cumplen la simetría

-Relacion transitiva:

Definición: Se dice que una relación RR definida sobre un conjunto es transitiva si y solo si los pares ordenados (x,y)(x,y) y (y,z)(y,z) que pertenecen a RR, implica que el par ordenado (x,z)(x,z) pertenezca a RR.

Ejemplo: Tomando el mismo conjunto B={1,2,3,4,5,6}B={1,2,3,4,5,6}, la siguiente relación es transitiva:

R1={(3,4),(1,5),(4,5),(2,3),(3,5),(2,5),(2,4)}R1={(3,4),(1,5),(4,5),(2,3),(3,5),(2,5),(2,4)}

La relación R1R1 es transitiva porque si los pares (3,4)(3,4) y (4,5)(4,5) pertenecen R1R1, también el par (3,5)(3,5) debe pertenecer a R1R1, la definición también cumple con el resto de los pares ordenados de BB, el par que no se contabiliza es (1,5)(1,5) ya que no existe un par del tipo (5,n)(5,n) para que (1,n)(1,n) pertenezca a R1R1, por tanto, esta relación es transitiva.

$$