6.- Dominio de una relación y Dominio de imagen (imagen, rango) de una relación:

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

 

El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

 

Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.

 

 

Podemos crear una función a partir de éstas usando el número de la figura como la entrada, y el número de cuadros que la conforman como la salida.

 

Una entrada de 1 tiene una salida de 1, ya que la figura 1 tiene sólo un cuadrado. Una entrada de 2 tiene una salida de 5, ya que la figura 2 contiene 5 cuadrados. Una entrada de 3, produce una salida de 9, ya que la figura 3 está formada de 9 cuadros. El dominio de ésta función se obtiene contando el número de entradas 1, 2, 3 que identifican cada una de las figuras usadas. Las entradas de ésta función son valores discretos, o valores que cambian en incrementos y no continuamente como la función del lanzamiento de la pelota. Sólo hay 3 figuras y por lo tanto las únicas posibles entradas son 1, 2, y 3. Entonces, el dominio de ésta función es 1, 2, 3. Podemos agrupar ésta lista de valores dentro de corchetes para indicar que forman un conjunto.

 

Dominio: {1, 2, 3}

 

El rango es el número de cuadros en cada figura. Las figuras tienen sólo 1, 5, o 9 cuadros, y ése es el rango. No hay ninguna figura que tenga 2 o 3.5 o cualquier otro número de cuadros. Como el dominio, el rango esta hecho de un conjunto de valores discretos.

 

Rango: {1, 5, 9}

 

Hemos limitado la entrada y la salida a 3 cada una porque sólo nos proporcionaron 3 figuras. ¿Cómo sería la notación del dominio y del rango si nos hubieran dicho que el patrón continuaría indefinidamente? ¡Fácil! Sólo añadimos tres puntos al final del conjunto de valores, para indicar que la secuencia continúa, así:

 

Dominio: {1, 2, 3, …}

Rango: {1, 5, 9, …}

 7.- Relaciones de equivalencia: 

Las relaciones de equivalencia, un tipo de relación binaria que solo hicimos mencion en la sección de relaciones binarias y tiene la propiedad de clasificar los elementos de un conjunto dado junto con algunas propiedades que necesitaremos más adelante.

-Relacion reflexiva:

Definición: Una relación binariaR⊆A

Ejemplo: Tenemos el siguiente conjunto A={1,2,3,4}$\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}$, la siguiente relación es reflexiva:

R={(1,1),(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4)}$$\mathrm{R}=\{(1,1),(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4)\}$$

Ya que contiene a todos los pares ordenados (1,1)$(1,1)$, (2,2)$(2,2)$, (3,3)$(3,3)$ y (4,4)$(4,4)$ donde sus primeras o segundas componentes pertenecen al conjunto A$\mathrm{A}$. Pero la relación:

R={(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(1,2)}$$\mathrm{R}=\{(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(1,2)\}$$

$$

No es reflexiva porque falta por lo menos un par ordenado (1,1)$(1,1)$ tal que 1∈A$1<span\; class="mjxassistivemathml"><span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; color:\; black;\; padding:\; 0cm;">\in <mrow\; class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi\; mathvariant="normal"></mi></mrow></span></span><span\; class="mjxassistivemathml"><span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; color:\; black;\; padding:\; 0cm;">A</span></span><span\; style="color:\; black;">.<o:p></o:p></span>$

-Relacion Simétrica:

Definición: Una relación definida sobre un conjunto es simétrica si un par ordenado (x,y)(x,y) que pertenece a una relación, el par ordenado (y,x)(y,x) también pertenece a dicha relación.

Ejemplo: Sea el conjunto B={1,2,3,4,5,6}B={1,2,3,4,5,6}, las siguientes relaciones son simétricas:

o    R1={(1,2),(1,1),(2,1),(4,1),(1,4)}R1={(1,2),(1,1),(2,1),(4,1),(1,4)}

o    R2={(3,4),(4,3),(2,2)}R2={(3,4),(4,3),(2,2)}

o    R3={(5,5)}R3={(5,5)}

Todas estas relaciones son simétricas porque cada una de ellas cumple la condición (x,y)∈R→(y,x)∈R(x,y)∈R→(y,x)∈R, por ejemplo, para R1R1, si existe en su colección el par (1,2)(1,2), entonces debe incluirse de la misma manera el par (2,1)(2,1), si se incluye el par P(5)=51P(5)=51, también debe incluirse (1,4)(1,4) y el par (1,1)(1,1) es un elemento simétrico consigo mismo, por tanto, R1R1 es una relación simétrica, igualmente para R2R2 y R3R3 que cumplen la simetría

-Relacion transitiva:

Definición: Se dice que una relación RR definida sobre un conjunto es transitiva si y solo si los pares ordenados (x,y)(x,y) y (y,z)(y,z) que pertenecen a RR, implica que el par ordenado (x,z)(x,z) pertenezca a RR.

Ejemplo: Tomando el mismo conjunto B={1,2,3,4,5,6}B={1,2,3,4,5,6}, la siguiente relación es transitiva:

R1={(3,4),(1,5),(4,5),(2,3),(3,5),(2,5),(2,4)}R1={(3,4),(1,5),(4,5),(2,3),(3,5),(2,5),(2,4)}

La relación R1R1 es transitiva porque si los pares (3,4)(3,4) y (4,5)(4,5) pertenecen R1R1, también el par (3,5)(3,5) debe pertenecer a R1R1, la definición también cumple con el resto de los pares ordenados de BB, el par que no se contabiliza es (1,5)(1,5) ya que no existe un par del tipo (5,n)(5,n) para que (1,n)(1,n) pertenezca a R1R1, por tanto, esta relación es transitiva.

$$

 

 

8.- Relaciones inversas:

Teniendo presente estas definiciones, probablemente sí sea mucho más sencillo aproximarse a la definición de Relaciones inversas, las cuales son entendidas como las relaciones algebraicas que suceden en sentido contrario. Es decir, por lo general, las relaciones binarias serán entendidas como A → B:

En donde entonces, los elementos de A se relacionan con B, dando origen a las siguientes relaciones binarias:

R= {(2,1); (4,5); (8,7)}

Así mismo, de esta relación se inferirán tanto el Dominio como el Rango:

dom(R): {2, 4, 8}
rang (R): {1, 5, 7}

Sin embargo, en el caso de las Relaciones inversas, este tipo de relación binaria será expresada en su forma R^-1  haciendo entonces que los conjuntos inviertan sus posiciones originales, así como que el Dominio ocupe el lugar del Rango, y el Rango del Dominio, dando como resultado también una relación en donde los pares ordenados son inversos, tal como se muestra a continuación:

De esta forma, mientras que la relación binaria sería de forma A R B, la relación inversa sería B R^-1 A.

Igualmente, en el caso de los pares ordenados que se generarían, se encontrarían los siguientes:

R^-1= {(1,2); (3,6); (7,8)}

 9.-Composición de relaciones radicción:

Sea  una relación de A en B y  una relación de B en C. La composición de  y  es una relación consistente de los pares ordenados (a, c), donde a  A y c  C y para los cuales existe un b  B tal que (a, b)   y (b, c)  , es decir a  b y b c.

La composicón se denota por , si  y  son relaciones.

Ejemplos:
a) Sea A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4} y C={0, 1, 2} y sean

={(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)}

={(1 ,0),(2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

Entonces ={(1, 0), (3, 0), (1, 1), (3, 1), (2, 1), (2, 2)}

b) Sean A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6, 8} C={s, t, u} y sean

={(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

={(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Entonces ={(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}

c) Sean A={a, b, c, d}, B={s, t, u, v} C={1, 2, 3, 4, 5} y sean

={(a, s), (a, t), (c, v), (d, u)}

={(s, 2), (t, 1), (t, 4), (u, 3)}

Entonces ={(a, 1), (a, 2), (a, 4), (d, 3)}

y graficamente se puede representar como

NOTA:   

Generalizando:

Sean  una relación de A en B,  una relación de B en C y  una relación de C en D.

La composición de ,  y  es una relación consistente de los pares ordenados (a, d), donde a  A y d  D y para los cuales existen un b  B y un c  C tal que (a, b)  , (b, c)   y (c, d)  , es decir a  b, b  c y c  d.

Lo anterior se puede denotar como (), si ,  y  son relaciones.

Además se tiene que () = ()